εφαπτομένη

εφαπτομένη
(σε ένα σημείο μιας καμπύλης). Αν Γ είναι μία καμπύλη του (συνηθισμένου) χώρου, δηλαδή η γραφική παράσταση ενός σημειοσυνόλου (x(t), ψ(t), z(t)), tεΔ} όπου Δ ένα διάστημα του συνόλου των πραγματικών αριθμών, και αν υπάρχουν οι πρώτες παράγωγοι των συναρτήσεων x, ψ, z, τότε: αν Μ = [x(τ), ψ(τ), z(τ)] είναι ένα σημείο της Γ, διέρχεται από το σημείο Μ μια ορισμένη ευθεία με διεύθυνση τη διεύθυνση του διανύσματος (η τελεία δηλώνει την παράγωγο· υποτίθεται ότι ισχύει:  για κάθε t από το διάστημα Δ). Αυτή η ευθεία ονομάζεται ε. της καμπύλης Γ στο σημείο Μ. Μπορεί κανείς, παραβλέποντας τη μαθηματική ακριβολογία, να πει ότι η ε. της Γ στο σημείο Μ είναι το όριο μιας ευθείας, που διέρχεται από το Μ και από ένα ακόμα σημείο M’ της Γ, όταν το M’ –καθώς κινείται πάνω στη Γ– συμπέσει με το σημείο Μ. Η μη αυστηρή αυτή διατύπωση θυμίζει τον ορισμό που δινόταν παλαιότερα στην ε. μιας καμπύλης. Το πρόβλημα του ορισμού προηγούμενης έννοιας έχει συνδεθεί με το όνομα του Λάιμπνιτς και είναι ένα από τα δύο προβλήματα που οδήγησαν στην έννοια της παραγώγου (προκειμένου για μια συνάρτηση με πραγματικές τις τιμές της και τις τιμές της μεταβλητής της). Το άλλο πρόβλημα, που οδήγησε στον ορισμό της παραγώγου, είναι εκείνο του ορισμού της ταχύτητας και έχει συνδεθεί με το όνομα του Νεύτωνα. Στα προηγούμενα, αν η καμπύλη είναι, ειδικότερα, επίπεδη, παραλείπεται η συντεταγμένη z. Αν (ε) είναι η ε. μιας καμπύλης Γ σε ένα σημείο της, δεν αποκλείεται η (ε) και η Γ να έχουν, εκτός από Μ, κοινά σημεία, αλλά υπάρχει ένα τμήμα της (ε), στο οποίο ανήκει το Μ και με το οποίο η Γ δεν έχει άλλο κοινό σημείο εκτός από το Μ (με άλλα λόγια, η έννοια της ε. είναι μια έννοια τοπική για μια καμπύλη). Μία καμπύλη Γ στο επίπεδο μπορεί να παριστάνεται και από μία εξίσωση όπως η f (x,ψ) = 0, και στον χώρο από δύο εξισώσεις όπως οι: g (x,ψ,z) = 0, h (x,ψ,z) = 0. Αν οι συναρτήσεις f, g, h ικανοποιούν ορισμένες συνθήκες, τότε ορίζεται και στις περιπτώσεις αυτές η έννοια της ε. της Γ σε ένα της σημείο. Έτσι στην παραπάνω περίπτωση μιας καμπύλης του επιπέδου και με την υπόθεση ότι η f έχει μερικές παραγώγους fx (x0, ψ0), fψ (x0, ψ0) πρώτης τάξης και ότι σε ένα σημείο (x0, ψ0) της Γ οι προηγούμενες μερικές παράγωγοι δεν μηδενίζονται (και οι δύο), η ε. της Γ στο σημείο (x0, ψ0) παρέχεται από την εξίσωση: fx (x0, ψ0) · (x – x0) + fψ (x0, ψ0) · (ψ – ψ0) = 0 (το διάνυσμα διεύθυνσης της ε. είναι τώρα {fψ (x0, ψ0), – fx (x0, ψ0) }). Πληρέστερη μελέτη οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μπορεί σε ένα σημείο μιας καμπύλης να υπάρχει ε. και η καμπύλη να βρίσκεται από τις δύο μεριές της ε. στο σημείο της επαφής, δηλαδή η ε. διαπερνά τότε την καμπύλη (ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο αιχμής). Δύο καμπύλες με κοινό ένα σημείο Μ λέμε ότι εφάπτονται μεταξύ τους στο σημείο Μ, αν στο Μ υπάρχει κοινή ε. τους. Με ανάλογο τρόπο ορίζεται η έννοια της ε. σε μια επιφάνεια και η έννοια εφαπτόμενο επίπεδο μιας επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αν σε ένα σημείο Μ (έστω) μιας επιφάνειας S υπάρχει εφαπτόμενο επίπεδο, τότε όλες οι ευθείες του επιπέδου που περνούν από το Μ είναι εφαπτόμενες της επιφάνειας S στο σημείο Μ. ε. τριγωνομετρική. Αν α είναι ένας πραγματικός αριθμός και συνα ≠ 0, τότε ο πραγματικός αριθμός ημα/συνα ονομάζεται (τριγωνομετρική) ε. του α και συμβολίζεται με εφα. Με τον τύπο εφx ορίζεται η (τριγωνομετρική) συνάρτηση ε. με πεδίο ορισμού της το σύνολο των πραγματικών αριθμών πλην το σύνολο των σημείων x με συνx = 0.

Dictionary of Greek. 2013.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Look at other dictionaries:

  • ἐφαπτομένη — ἐφάπτω bind on pres part mp fem nom/voc sg (attic epic ionic) …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • ἐφαπτομένῃ — ἐφάπτω bind on pres part mp fem dat sg (attic epic ionic) …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • ἐφαπτομένηι — ἐφαπτομένῃ , ἐφάπτω bind on pres part mp fem dat sg (attic epic ionic) …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • καμπύλη — Ο όρος χρησιμοποιείται ως συνώνυμος του όρου γραμμή και όχι ως προσδιοριστικό του είδους της γραμμής που μελετάται. Κ. νοείται το σύνολο των θέσεων ενός σημείου που κινείται μέσα στον χώρο. Ειδικότερα, μια κ. μπορεί να είναι ευθεία είτε όχι,… …   Dictionary of Greek

  • παραβολή — Διδακτικό αλληγορικό είδος της λογοτεχνίας, που με βάση τα γενικότερα χαρακτηριστικά του συγγενεύει με το παραμύθι. Από την άποψη του περιεχομένου, η π. διακρίνεται από την έλξη της προς το βάθος της θρησκευτικής και ηθικής σοφίας. Σε παλαιότερες …   Dictionary of Greek

  • απειροστικός λογισμός — Ένας από τους πιο βασικούς και δημιουργικούς κλάδους των μαθηματικών. Η προσφορά του στον ανθρώπινο πολιτισμό, ανεξάρτητα από τη γοητευτική ομορφιά των εννοιών και των μεθόδων του που αφορά τους επαΐοντες, είναι τεράστια. Γενικά, η οφειλή της… …   Dictionary of Greek

  • εγγύτατος — Η έννοια απαντά στη θεωρία των καμπυλών και των επιφανειών (διαφορική γεωμετρία). Αν Γ είναι μία καμπύλη στον τρισδιάστατο χώρο και Μ ένα σημείο της, F είναι μία οικογένεια καμπυλών (είτε επιφανειών) του χώρου με κοινό τους σημείο το Μ, και η Γ… …   Dictionary of Greek

  • κλίση — I (Αστρον.). Κ. τροχιάς ενός πλανήτη είναι η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο της τροχιάς του με την τροχιά της Γης, δηλαδή την εκλειπτική. Από τους μεγάλους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος, ο Πλούτων έχει τη μεγαλύτερη κ. (17° 18’48’) και ο… …   Dictionary of Greek

  • μέγιστα και ελάχιστα — Έστω μια πραγματική συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα υποσύνολο I του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Ένας πραγματικός αριθμός m θα λέμε ότι είναι το ολικό μέγιστο ή αντίστοιχα το ολικό ελάχιστο της f, αν και μόνον αν για κάθε x∈Ι ισχυει: f(x) ≤ m,… …   Dictionary of Greek

  • τρίεδρο — Στερεό γεωμετρικό σχήμα, που προκύπτει από τρία τεμνόμενα επίπεδα, οι τομές των οποίων συναντώνται σε κοινό σημείο. Έστω Ο ένα σημείο του χώρου και a, b, c, τρεις ημιευθείες που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και διέρχονται από το Ο. Το… …   Dictionary of Greek

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”